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重庆医科大学基础医学院-药理学试卷（可编辑）
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二房室模型 数学建模
5.4 药物在体内的分布与排除 （药物动力学之房室模型） ? ? ? ? ? ? 房室系统的概念 二房室模型的建立 模型求解 不同给药方式分析 参数估计技巧 进一步推广药物动力学之房室系统? 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) ? 血药浓度需保持在一定范围内――给药方案设计 ? 药物在体内吸收、分布和排除过程 ――药物动力学 ?
建立房室模型(Compartmental Models) ? 房室――机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 ? 本节讨论二室模型――中心室(心、肺、肾等) 和周边室(四肢、肌肉等)
模型假设? 中心室(1)和周边室(2),容积不变? 药物从体外进入中心室，在二室间 相互转移,从中心室排出体外? 药物在房室间转移速率及向体外排除速率， 与该室血药浓度成正比模型建立xi (t ) ~ 药量 ci (t ) ~ 浓度 Vi ~ 容积 i ? 1,2f 0 (t )给药中心室c1 (t ), x1 (t ) V1k12k 21周边室 c2 (t ), x2 (t )V2?1 (t ) ? ?k12 x1 ? k13 x1 ? k21 x2 ? f 0 (t ) xk13排除?2 (t ) ? k12 x1 ? k21 x2 x复习：常系数齐次线性 方程组通解(n=2)dx ? Ax dt特征方程 | ? I ? A |? 0?t ?t ? x ( t ) ? A e ? B e ? 1 1 (1)两个不等的实数特征根?, ?, ? 1 ?t ?t x ( t ) ? A e ? B e ? ? 2 2 2?t (2)两个相等的实数特征根?=?, ? x ( t ) ? ( A ? B t ) e ? 1 1 1 ? ?t x ( t ) ? ( A ? B t ) e ? ? 2 2 2 (3)两个共轭复数特征根???i,?t ? x ( t ) ? ( A cos ? t ? B sin ? t ) e ? 1 1 1 ? ?t x ( t ) ? ( A cos ? t ? B sin ? t ) e ? ? 2 2 2模型建立 xi (t ) ? Vi ci (t ), i ? 1,2 f 0 (t ) V2 ? ? c ( t ) ? ? ( k ? k ) c ? k c ? 1 12 13 1 21 2 ? V1 V1 ? ? V1 线性常系数 ?c ?2 (t ) ? k12 c1 ? k 21c2 非齐次方程 ? V2 ?对应齐次 方程通解 可证明：特征 方程有两个不 相等负根?c1 (t ) ? A1e ? B1e ? ??t ? ?t ?c2 (t ) ? A2 e ? B2 e??t ? ?t?? ? ? ? k12 ? k 21 ? k13 ? ??? ? k 21 k13给药速率 f0(t) 几种常见的给药方式 和初始条件 t=0 瞬时注射剂量D0 1.快速静脉注射 f (t ) 的药物进入中心室,血 V ? ? (t ) ? ?(k ? k )c ? k c ? ?c V V ? 药浓度立即为D0/V12 0 1 12 13 1 21 2? V1 ?c ?2 (t ) ? k12 c1 ? k 21c2 ? V2 ?11D0 f 0 (t ) ? 0, c1 (0) ? , c2 (0) ? 0 V1齐次方程通解带入初始条件和原方程得D0 c1 (t ) ? [( k 21 ? ? )e ??t ? ( ? ? k 21 )e ? ?t ] V1 ( ? ? ? ) D0 k12 c2 (t ) ? (e ??t ? e ? ?t ) V2 ( ? ? ? )c1 (t ), c2 (t ) ? 0详解? 因f0(t)=0, 为齐次方程，通解为 ??t ??t ??t ??t c1 (t ) ? Ae ? B e , c ( t ) ? A e ? B e 1 1 2 2 2 ? 代入方程第一式（第二式也可）-? A1e?? t-? B1e??t?（ - k12 ? k13 )( A1e?? t? B1e??tV2 ) ? k21 ( A2e ?? t ? B2e ? ? t ) V1? 比较两边e-?t, e-?t系数得到 V2 V2 ?? A1 ? ?(k12 ? k13 ) A1 ? k21 A2 , ? ? B1 ? ?(k12 ? k13 ) B1 ? k21B2 V1 V1 ? 由初始条件得 A ? B ? D0 , A ? B ? 0 1 1 2 2 V1? 求解得A1 ? A2 ? D0 D0 (k21 ? ? ), B1 ? ( ? ? k21 ) V1 ( ? ? ? ) V1 ( ? ? ? ) D0 k12 D0 k12 , B2 ? ? V2 ( ? ? ? ) V2 ( ? ? ? )2.恒速静脉滴注0 ? t ? T 药物以速率k0进入中心室f 0 (t ) V2 ? ?1 (t ) ? ?(k12 ? k13 )c1 ? k 21c2 ? ?c V1 V1 ? ? V ?c f 0 (t ) ? k0 , c1 (0) ? 0, c2 (0) ? 0 ?2 (t ) ? 1 k12 c1 ? k 21c2 ? V2 ?? k0 ??t ? ?t 0?t ?T ?c1 (t ) ? A1e ? B1e ? k V , 13 1 ? ? k12 k 0 ??t ? ?t , 0?t ?T ?c2 (t ) ? A2 e ? B2 e ? k 21 k13V2 ? ? V1 ( k12 ? k13 ? ? ) V1 ( k12 ? k13 ? ? ) A1 , B2 ? B1 ? A2 ? k 21V2 k 21V2 ?t&T（充分大）, c1(t) ?C1, c2(t) ?C2 t &T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零(解的公式？)详解? 方程非其次项是常数，所以设解非其次项也是常数，令方程的通解为 ??t ? ?t ??t ? ?t c1 (t ) ? A e ? B e ? E , c ( t ) ? A e ? B e ? E2 1 1 1 2 2 2? 代入方程，比较两边e-?t, e-?t以及常数项系数得到6式，删去冗余两式得 ? ?A2 ? V1 / V2 k12 A1 ? k21 A2 , ? ?B2 ? V1 / V2 k12 B1 ? k21 B2k V1 V k12 E1 ? k21 E2 ? 0, ? (k12 ? k13 ) E1 ? 2 k21 E2 ? 0 ? 0 V2 V1 V1 k k k 由后两式解得 E1 ? 0 , E2 ? 12 0 k13V1 k12 k13V1A2 ? V1k12 V1k12 A1 , B2 ? B1 V2 (k21 ? ? ) V2 (k21 ? ? )?? 由前两式得? 再利用初始条件c1(0)=0, c2(0)=0解得(可利用Matlab的符号工具箱)A1 ??k0 (k21 ? ? ) ?k0 (k21 ? ? ) ?k0 k12 ?k0 k12 , B1 ? , A2 ? , B2 ? V1k21k13 (? ? ? ) V1k21k13 ( ? ? ? ) V2 k21k13 (? ? ? ) V2 k21k13 ( ? ? ? )t&T以后，静脉注射停止V2 ? ?1 (t ) ? ?(k12 ? k13 )c1 ? k 21c2 ?c V1 ? 方程? ,t ? T V1 ?c ?2 (t ) ? k12 c1 ? k 21c2 ? V2 ?当T充分大，初值 k0 c1 (T ) ? k13V1 k12 k0 c2 (T ) ? k 21k13V2?? ( t ?T ) ? ? ( t ?T ) ? c ( t ) ? A e ? B e ?1 1 1 通解? ?? ( t ?T ) ? ? ( t ?T ) ? c ( t ) ? A e ? B e 2 2 ? 2常数A1 ? A2 ?? ?k0 (k21 ? ? ) ? ?k0 (k21 ? ? ) , B1 ? , V1k21k13 (? ? ? ) V1k21k13 ( ? ? ? )? ?k0 k12 ? ?k0 k12 , B2 ? V2 k21k13 (? ? ? ) V2 k21k13 ( ? ? ? )3.口服或肌肉注射相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室x0 (t )中心室吸收室药量x0(t)f 0 (t ) V2 ? ? c ( t ) ? ? ( k ? k ) c ? k c ? 12 13 1 21 2 ? 1 V1 V1 ? ? V ?c ?2 (t ) ? 1 k12 c1 ? k 21c2 ? V2 ?f 0 ? k01 x0?0 (t ) ? ?k01 x0 ?x ? ? x0 (0) ? D0x0 (t ) ? D0 e? k0 1tc1 (t ) ? Ae??t ? Be? ? t ? Ee?k01t ? 0f0 (t ) ? D0k01e? k01t
参数估计技巧各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,?n)测得c1(ti)D0 c1 (t ) ? [( k 21 ? ? )e ??t ? ( ? ? k 21 )e ? ?t ] V1 ( ? ? ? ) D0 (k 21 ? ? ) ??t ??t c ( t ) ? e ? Ae 设? ? ? , t充分大 1 V1 ( ? ? ? )由较大的 ti , c1 (ti ) 用最小二乘法定A,???t ? ?t ~ c1 (t ) ? c1 (t ) ? Ae ? Be由较小的~ ti , c1 (ti )用最小二乘法定B,?为什么不4个参 数一起拟合？参数估计技巧t ? ?, c1 , c2 ? 0D0 ? k13V1 ?0 c1 (t )dtD0 c1 (0) ? ? A? B V1?进入中心室的药物全部排除? A B? D0 ? k13V1 ? ?? ? ? ? ? ? ??? ( A ? B ) k13 ? ?B ? ?Ak 21 ??? ? ? ? k12 ? k21 ? k13 ? ??? ? k21k13??k13k12 ? ? ? ? ? k13 ? k21房室模型建模小结? ? ? ? ? ? 分析各房室的关联； 建立线性微分方程组模型； 写出微分方程组的通解； 用初始条件和代入方程求得特解； 用观测数据估计模型参数 参数估计可用分解技巧，简化计算，使结 果更可靠。进一步的问题? ? ? ? ? 多房室系统模型 非线性房室模型 随机房室模型 房室模型在其他领域的应用 其他注射方式下的参数估计问题参考阅读? /models.php ? 周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动 力学的研究进展 , 预防医学情报杂志 2002年06期 ? 陈增敬, 关于血浆中放射性钙C^47α浓度 的计算公式, 数理统计与应用概率，1995 年 10卷 3期
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