排列组合 我觉得排列组合好难啊!~~~特别是排列!哪位高手能教教我方法啊?在此我将感激不尽!P.S.最好说的详细一些,比如举几道典型的例题 _百度作业帮
排列组合 我觉得排列组合好难啊!~~~特别是排列!哪位高手能教教我方法啊?在此我将感激不尽!P.S.最好说的详细一些,比如举几道典型的例题
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解决排列组合问题要讲究策略,首先要认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题.其次,要抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”.加法原理的特征是分类解决问题,分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容),②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题,分步必须做到步与步互相独立,互不干扰并确保连续性.分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略,在实际操作中往往是“步”与“类”交叉,有机结合,可以是类中有步,也可以是步中有类.
以上解题思路分析,可以用顺口溜概括为：审明题意,排（组）分清；合理分类,用准加乘；周密思考,防漏防重；直接间接,思路可循；元素位置,特殊先行；一题多解,检验真伪.
下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析,拟找到解决相应问题的有效方法.
一、特殊优先,一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排.在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”.
例1 0、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个?
解法一：(元素优先)分两类：第一类,含0,0在个位有A42种,0在十位有A21·A31种；第二类,不含0,有A21·A32种.
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30.
注：在考虑每一类时,又要优先考虑个位.
解法二：(位置优先)分两类：第一类,0在个位有A42种；第二类,0不在个位,先从两个偶数中选一个放个位,再选一个放百位,最后考虑十位,有A21A31A31种.故共有A42+A21A31A31=30.
练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）.
二、排组混合,先选后排
对于排列与组合的混合问题,宜先用组合选取元素,再进行排列.
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内,则恰有一个空盒的放法有几种?
由题意,必有一个盒内有2个球,同一盒内的球是组合,不同的球放入不同的盒子是排列.因此,有C42A43=144种放法.
练习2 由数字1,2,3,4,5,6,7组成有3个奇数字,2个偶数字的五位数,数字不重复的有多少个?
答案：有C43C32A55=1440（个）
三、元素相邻,整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素进行自排.
例3 5个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,共有几种排法?
先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列.同时,3个女生自身也应全排列.由乘法原理共有A66·A33种.
练习3 四对兄妹站一排,每对兄妹都相邻的站法有多少种?
答案：A44·24=384
四、元素间隔,分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列,用插入法.
例4 5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?
先排无限制条件的男生,女生插在5个男生之间的4个空隙,由乘法原理共有A55A43种.
注意：①必须分清“谁插入谁”的问题.要先排无限制条件的元素,再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准.
练习4 4男4女站成一行,男女相间的站法有多少种?
答案：2A44·A44
例5 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关两端的路灯,则满足要求的关灯方法有几种?
由于问题中有6盏亮3盏暗,又两端不可暗,故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可,有C53种.
练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数,有几种不同的取法?
答案：C83.
五、元素定序,先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其它元素进行排列.也可先放好定序的元素,再一一插入其它元素.
例6 5人参加百米跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况?
解法一：先5人全排有A55种,由于全排中有甲、乙的全排种数A22,而这里只有1种是符合要求的,故要除以定序元素的全排A22种,所以有A55/A22=60种.
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种,再排列其它3人有A33,由乘法原理得共有C52A33=60种.
解法三：先固定甲、乙,再插入另三个中的第一人有3种方法,接着插入第二人有4种方法,最后插入第三人有5种方法.由乘法原理得共有3×4×5=60种.
练习6 要编制一张演出节目单,6个舞蹈节目已排定顺序,要插入5个歌唱节目,则共有几种插入方法?
答案：A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
六、“小团体”排列,先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列.
例7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手,则出场方案有几种?
先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种,把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种,由乘法原理,共有A42A22A33种.
练习7 6人站成一排,其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种?
答案：A22·A44
七、不同元素进盒,先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内,当有的盒内有不小于2个元素时,不可分批进入,必须先分堆再排入.
例8 5个老师分配到3个班搞活动,每班至少一个,有几种不同的分法?
先把5位老师分3堆,有两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种,再排列到3个班里有A33种,故共有(C53+C51C42C22/A22)·A33.
注意：不同的老师不可分批进入同一个班,须一次到位(否则有重复计数).即“同一盒内的元素必须一次进入”.
练习8 有6名同学,求下列情况下的分配方法数：
①分给数学组3人,物理组2人,化学组1人；
②分给数学组2人,物理组2人,化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组,其中一组3人,一组2人,一组1人；
④平均分成三组进行排球训练.
答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63C32C11·A33；④C62C42C22/A33.
八、相同元素进盒,用档板分隔
例9 10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种选法?
这里只是票数而已,与顺序无关,故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内,每盒至少1球,可先把10球排成一列,再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法.
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题.
练习9 从全校10个班中选12人组成排球队,每班至少一人,有多少种选法?
答案：C119
九、两类元素的排列,用组合选位法
例10 10级楼梯,要求7步走完,每步可跨一级,也可跨两级,问有几种不同的跨法?
由题意知,有4步跨单级,3步跨两级,所以只要在7步中任意选3步跨两级即可.故有C73种跨法.
注意：两类元素的排列问题涉及面很广,应予重视.
练习10 3面红旗2面黄旗,全部升上旗杆作信号,可打出几种不同的信号?
例11 沿图中的网格线从顶点A到顶点B,最短的路线有几条?
每一种最短走法,都要走三段“|”线和四段“—”线,这是两类元素不分顺序的排列问题.故有C74或C73种走法.
例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求),有几种选法?
这个问题与例12有区别,虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子),是球与档板两类元素不分顺序的排列问题.但某些盒子中可能没有球,故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置,故有C144种选法.
练习11 (a+b+c+d)10的展开式有几项?
提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式,所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列,故共有C133项.
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键.
十、个数不少于盒子编号数,先填满再分隔
例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?
先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有C112种.
十一、多类元素组合,分类取出.
例14 车间有11名工人,其中4名车工,5名钳工,AB二人能兼做车钳工.今需调4名车工和4名钳工完成某一任务,问有多少种不同调法?
不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工,从AB中调1人作车工；第二类调2车工4钳工,把AB二人作为车工.故共有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185种不同调法.
注：本题也可按钳工分类.若按A、B分类,会使问题变得复杂文档内容页[966072] - 文档不存在维生素e的去疤方法 ，各位请出谋划策，不胜感激。_百度知道
维生素e的去疤方法 ，各位请出谋划策，不胜感激。
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多运动，多用手揉搓
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