二次型化标准形的三种方法

将二佽型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要

下面，我们以两道题目为例说明计算二次型的标准形的三种方法：

配方法的要领是：第一次将所有含有${}_{}$x1?的项集中到一起进行配方，从而消掉含有${}_{}$x1?的交叉项第二次将含有${}_{}$x2?的项集中到一起进行配方……直到去掉所有的交叉项.

x1?的项集中起来进行配方：

其中，非退化线性替换为：

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& \\ 0& & \\ & & \\ & & 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& \\ 0& & \\ 0& & \\ & & 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$??????????10?2100?042?110??225001??????????2r1?+r3???????????100100?042?110??221001??????????

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & \\ 0& & \\ & & \\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}\stackrel{}{\frac{}{}{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & \\ 0& 0& 0\\ & & \\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$??????????100100?042?110?021201???????????21?r2?+r3???????????100100?040?110?020201??????????

$\stackrel{}{\frac{}{}{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& 0& 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& 0\\ & & \frac{}{}\\ 0& & \frac{}{}\\ 0& 0& \end{array}$??????????100100?040?110?00025??21?1??????????

非退化线性替换矩阵为

$\begin{array}{ccc}& & \frac{}{}\\ 0& & \frac{}{}\\ 0& 0& \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & 0& \end{array}$∣λE?A∣=∣∣∣∣∣∣?λ?1?12??1λ?50?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

$\stackrel{{}_{}{}_{}}{}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& & \end{array}$=2r2?+r3?∣∣∣∣∣∣?λ?1?10??1λ?52(λ?5)?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

$\stackrel{{}_{}{}_{}}{}\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ 0& 0& \end{array}$=?2c3?+c2?∣∣∣∣∣∣?λ?1?10??5λ?50?20λ?5?∣∣∣∣∣∣?

A的特征值为0，56.

注：（1）由于二次型的标准形不唯一，所以三种方法得到的结果都不一样

由于这道题目没有平方项，所以在使用配方法和合同变换法的时候需要先处理一下以便化为例1的情况进行求解。特征值法与例1相同所以不再赘述。

分析：为了嘚到一个平方项可以将${}_{}$x1?设为两数之和，将${}_{}$x2?设为这两数之差.

解： 作非退化线性替换

分析：为了将左上角变出一个非零元，可以考虑將第二行（或者第三行）加到第一行同时将第二列（或者第三列）加到第一列.

$\begin{array}{ccc}0& & \\ & 0& \\ & & 0\\ & 0& 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& & \\ & 0& \\ & & 0\\ & 0& 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$?????????0?21100??201010?110001??????????r3?+r1???????????1?21100??101010?110001??????????

$\stackrel{}{{}_{}{}_{}}\begin{array}{ccc}& & \\ & 0& \\ & & 0\\ & 0& 0\\ 0& & 0\\ & 0& \end{array}$??????????2?11101??101010?110001??????????