求概率公式大全问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-03 09:17 标签： 概率公式大全

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说到违反直觉那么这个必须要提著名的“三门问题”，亦称为蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论大致出自美国的一档电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）

这个游戏的玩法如下，非常简单：

  1. 现场有三扇关闭了的门其中一扇的后面有辆跑车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊
  2. 参賽者需要从中选择一扇门，如果参赛者选中后面有车的那扇门就可以赢得这辆跑车
  3. 当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊
  4. 接下来参赛者会被问到：是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道門

那么问题来了，请问如果你是参赛者为了得到门后的跑车大奖，你会做哪种选择使得自己获奖的概率公式大全会更大呢？或者增加点难度换和不换的获胜概率公式大全分别是多少？


为了避免歧义先明确如下的限制条件：

  1. 参赛者只能在三扇门中挑选一扇，而且他並不知道内里有什么
  2. 主持人明确知道每扇门后面有什么。
  3. 主持人必须开启剩下的其中一扇门并且必须提供换门的机会。


那我们可以按照日常直觉分析如下：

  1. 参赛者在做出最开始的决定时对三扇门后面的事情一无所知，因此他选择正确的概率公式大全是1/3这个非常直观，合乎直觉
  2. 然后，主持人排除掉了一个错误答案（有羊的门）于是剩下的两扇门必然是一扇是羊，一扇是跑车那么此时无论选择哪┅扇门，胜率都是1/2依然合乎直觉。
  3. 所以感觉上参赛者换不换都无必要，获胜概率公式大全均为1/2

玛丽莲·沃斯·莎凡特——吉尼斯认定的最高智商人类（IQ：228）


对于这个问题，著名的高智商学者最聪明的人类，莎凡特在她专栏的回答是改选会更有优势她认为换了之后有2/3嘚概率公式大全赢得车，不换的话概率公式大全只有1/3

是的，你应该换你第一次选的门只有1/3胜率，但是剩下的另一扇门却有2/3的机会

其時不仅仅有些读者会觉得这个答案奇怪且荒谬，当时莎凡特的回答在美国也引起了激烈的争议：

人们寄来了数千封抱怨信很多寄信人是科学老师或学者。一位来自佛罗里达大学的读者写道：“这个国家已经有够多的数学文盲了我们不想再有个世界上智商最高的人来充数！真让人羞愧！”另一个人写道：“我看你就是那只山羊！”美国陆军研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)写道，“如果连博士都要出错我看这个國家马上要陷入严重的麻烦了。”


因为直觉告诉人们：如果被打开的门后什么都没有这个信息会改变剩余的两种选择的概率公式大全，哪一种都只能是1/2

持有这种观点的大约有十分之一是来自数学或科学研究机构，有的人甚至有博士学位还有大批报纸专栏作家也加入了聲讨莎凡特的行列。在这种情况下莎凡特向全国的读者求救，有数万名学生进行了模拟试验一个星期后，实验结果从全国各地飞来昰2/3和1/3。

随后MIT的数学家和阿拉莫斯国家实验室的程序员都宣布，他们用计算机进行模拟实验的结果支持了莎凡特的答案。

后来的著名节目《流言终结者》也做实验印证了莎凡特的答案。

可以看出这是一个概率公式大全论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基於量化的判断的时候要以事实和数据为依据，而不要凭主观和直觉来决定下面是正确的分析，记得我第一次看这道题目是中学当时峩也是坚信换不换都是1/2。

那么1/3和2/3是怎么来的呢

那就是有一个十分重要隐藏条件：
显然，作为知道答案的主持人不可能选择开启有车的門。所以他永远都会挑一扇有山羊的门也就是说主持人选择开启其中一扇门时，他的选择并不是一个纯随机事件

  • 如果参赛者选择了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门
  • 如果参赛者选择了一扇有跑车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门

我們可以遍历所有可能性，那么假设参赛者选择1号门那么如下图所示，存在3中等可能情形：

  1. 参赛者选择汽车 主持人选择山羊甲 转换失败
  2. 参賽者选择山羊甲 主持人选择山羊乙转换成功
  3. 参赛者选择山羊乙 主持人选择山羊甲 转换成功

width="841" data-original="">我还想跟大家介绍一个非常有用的数学工具——貝叶斯公式可以很简单的解决这个问题。

我还想跟大家介绍一个非常有用的数学工具——贝叶斯公式可以很简单的解决这个问题。
我們用事A代表你第一次选择的门后是跑车B代表主持人翻开的门后是山羊。
那么已知B的情况下A发生的条件概率公式大全P{A|B}用贝叶斯公式可得：


显然，第一次选对的概率公式大全即但是由于不知道主持人的行为，所以无法计算和那么我们具体分析：因为主持人【知道】门后对應的东西所以只选择开启有羊的门，于是

  • 主持人一定选择山羊事件B一定发生，即：
  • 主持人一定选择山羊事件B一定发生：那么所以不換的胜率是1/3，因此一定要换


但如果改变条件，主持人并【不知道】门后有什么东西那么：
得到也就是是说，换与不换无所谓

附加题：开心辞典比赛中，每道题目有4个选项其中1个选项正确，另外3个选项错误那么你作为参赛者，面对一道完全不会的题目于是先随机選了一个答案。之后使用锦囊去除了一个错误答案其原则是如果逆选择正确，那么在剩下3个错误答案中任意去处1个；如果你的选择错误则在剩下2个没被选择的错误答案中任意去处1个。


那么之后要不要换选项换和不换概率公式大全分别是多少？


提示：用贝叶斯公式非常簡单哦~


附录：一篇关于三门问题的论文解答详细，有兴趣请自行阅读

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