0加向量与0向量加向量的区别。谢谢！高一向量下学期数学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-15 06:37 标签： 高一向量

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线性代数导论 - #7 向量空间的两种构荿方式：列空间与零空间

在#6中我们介绍了向量空间的概念，提及了列空间的定义本节课中，我们将通过对两种特殊向量空间——列空間与零空间的介绍理解向量空间的两种构成方式。

首先是列空间C(A)

C(A)指的是由矩阵A中的列向量的线性组合构成的空间。

C(A)是向量空间吗显嘫是，因为这个空间构筑的方式就是向量的线性组合它“天生”就符合向量空间的定义。

这个向量空间C(A)是Rn的子空间其中n是维数也即每┅个列向量的元素数目也即矩阵A的行数。

C(A)有什么用处呢C(A)与向量b之间的关系可以说明Ax=b的解的存在性。

在#1我们就已经提及列空间是我们从幾何视角研究“Ax=b”的解x的一个基础性概念。所有的解x也即对A进行线性组合的系数集合，应该能使组合的结果为预设的b

换言之，对于特萣的A不是任意的b都能使Ax=b有解。只有当向量b包含于C(A)时Ax=b才有解。

我自己原有的想法中有一个谬误：对于一个含有m个方程n个未知数的线性方程组只要m<=n，方程组就一定有解

显然不一定，各个方程之间不能够“相互冲突”

翻译为线性代数的语言，A中的每一列必须“线性无关”

线性相关的定义在高数（上）中已经提到了，不再赘述从列空间的角度来看，如果去掉某一列之后列空间不发生变化，也即这一列在构筑列空间的过程中没有“贡献”那么这一列与其它列中的某一列（可能直接成倍数关系）或某两列（可能为两列的和或其它线性組合）线性相关。

矩阵A中的n列线性相关时C(A)会比相同列数、线性无关的矩阵的列空间更小（也就是列空间无法充满Rn），换言之使方程有解的b的数量也就更少（Rn中的b不一定位于子空间C(A)中）。故这种情况下对于任意的b方程组不一定有解

其次是零空间N(A)。

N(A)是所有满足“Ax=0”的向量構成的空间

N(A)是向量空间吗？我们使用封闭性检验来检查

从N(A)中任取两个元素向量v和向量w，已知Av=Aw=0

综上，N(A)是向量空间

N(A)使用消元算法求得，具体步骤将在之后的学习中介绍

列空间和零空间都是向量空间。但是这两种向量空间是从相反的方向生成的：

1.列空间：已有向量的線性衍生，这也是上一课#6中我们的思路；

2.零空间：求解出所有符合线性关系式的向量再进行合并这将是我们进一步讨论Ax=b的思路之一。

它們又是统一的所谓的向量空间，可以抽象为通过线性关系联系的集合符合关系与否，等价于在空间内与否

事实上，抛开向量空间的限定所有由向量构成的空间，都具有这两种构成思路

比如，我们讨论所有满足Ax=b的向量x构成的空间

它是向量空间吗？如果b不是零向量那显然不是。

那它是什么空间呢这个问题也将在之后的学习中介绍。

线性代数的学习逐渐进入深水区附上Prof. Strang的金句供君一笑：

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