悲喜枯荣如是本无分别，当来则来，当去则去，随心，随性，随缘 - ...
机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）
机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）
机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。
这节学习的是逻辑回归（Logistic Regression），也算进入了比较正统的机器学习算法。啥叫正统呢？我概念里面机器学习算法一般是这样一个步骤：1）对于一个问题，我们用数学语言来描述它，然后建立一个模型，例如回归模型或者分类模型等来描述这个问题；2）通过最大似然、最大后验概率或者最小化分类误差等等建立模型的代价函数，也就是一个最优化问题。找到最优化问题的解，也就是能拟合我们的数据的最好的模型参数；3）然后我们需要求解这个代价函数，找到最优解。这求解也就分很多种情况了：
a）如果这个优化函数存在解析解。例如我们求最值一般是对代价函数求导，找到导数为0的点，也就是最大值或者最小值的地方了。如果代价函数能简单求导，并且求导后为0的式子存在解析解，那么我们就可以直接得到最优的参数了。
b）如果式子很难求导，例如函数里面存在隐含的变量或者变量相互间存在耦合，也就互相依赖的情况。或者求导后式子得不到解释解，例如未知参数的个数大于已知方程组的个数等。这时候我们就需要借助迭代算法来一步一步找到最有解了。迭代是个很神奇的东西，它将远大的目标（也就是找到最优的解，例如爬上山顶）记在心上，然后给自己定个短期目标（也就是每走一步，就离远大的目标更近一点），脚踏实地，心无旁贷，像个蜗牛一样，一步一步往上爬，支撑它的唯一信念是：只要我每一步都爬高一点，那么积跬步，肯定能达到自己人生的巅峰，尽享山登绝顶我为峰的豪迈与忘我。
另外需要考虑的情况是，如果代价函数是凸函数，那么就存在全局最优解，方圆五百里就只有一个山峰，那命中注定了，它就是你要找的唯一了。但如果是非凸的，那么就会有很多局部最优的解，有一望无际的山峰，人的视野是伟大的也是渺小的，你不知道哪个山峰才是最高的，可能你会被命运作弄，很无辜的陷入一个局部最优里面，坐井观天，以为自己找到的就是最好的。没想到山外有山，人外有人，光芒总在未知的远处默默绽放。但也许命运眷恋善良的你，带给你的总是最好的归宿。也有很多不信命的人，觉得人定胜天的人，誓要找到最好的，否则不会罢休，永不向命运妥协，除非自己有一天累了，倒下了，也要靠剩下的一口气，迈出一口气能支撑的路程。好悲凉啊……哈哈。
呃，不知道扯那去了，也不知道自己说的有没有错，有错的话请大家不吝指正。那下面就进入正题吧。正如上面所述，逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏，冥冥人海，滚滚红尘，我们是否找到了最适合的那个她。 一、逻辑回归（LogisticRegression）
Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。之前在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测，也就是根据某广告被用户点击的可能性，把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方，然后叫他“你点我啊！”用户点了，你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的原因了。
还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。
Logistic regression可以用来回归，也可以用来分类，主要是二分类。还记得上几节讲的支持向量机SVM吗？它就是个二分类的例如，它可以将两个不同类别的样本给分开，思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它，它能够给你的只有一个答案，你这个样本是正类还是负类。例如你问SVM，某个女生是否喜欢你，它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说，显得太粗鲁了，要不希望，要不绝望，这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我，她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢，你想都不用想了等等，告诉你她有49%的几率喜欢你，总比直接说她不喜欢你，来得温柔。而且还提供了额外的信息，她来到你的身边你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百战百胜，哈哈。Logistic regression就是这么温柔的，它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。
还得来点数学。（更多的理解，请参阅参考文献）假设我们的样本是{x, y}，y是0或者1，表示正类或者负类，x是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本x属于正类，也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示：
这里θ是模型参数，也就是回归系数，σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率（也就是x属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数）变换得到的：
换句话说，y也就是我们关系的变量，例如她喜不喜欢你，与多个自变量（因素）有关，例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等，我们把这些因素表示为x1, x2,…, xm。那这个女的怎样考量这些因素呢？最快的方式就是把这些因素的得分都加起来，最后得到的和越大，就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称，每个人考虑的因素不同，萝卜青菜，各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品，人品的权值是0.6，不看重你有没有钱，没钱了一起努力奋斗，那么有没有钱的权值是0.001等等。我们将这些对应x1, x2,…, xm的权值叫做回归系数，表达为θ1, θ2,…, θm。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生，非诚勿扰！哈哈。
所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型，它与线性回归的不同点在于：为了将线性回归输出的很大范围的数，例如从负无穷到正无穷，压缩到0和1之间，这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了，把大值压缩到这个范围还有个很好的好处，就是可以消除特别冒尖的变量的影响（不知道理解的是否正确）。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举，也就是在输出加一个logistic函数。另外，对于二分类来说，可以简单的认为：如果样本x属于正类的概率大于0.5，那么就判定它是正类，否则就是负类。实际上，SVM的类概率就是样本到边界的距离，这个活实际上就让logistic regression给干了。
所以说，LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。好了，关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下，模型选好了，只是模型的参数θ还是未知的，我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。
LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“”。
假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是：
上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）：
那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数（cost function）了。
OK，那代价函数有了，我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导，看导数为0的时候可不可以解出来，也就是有没有解析解，有这个解的时候，就皆大欢喜了，一步到位。如果没有就需要通过迭代了，耗时耗力。
我们先变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有xi的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：
这时候，用L(θ)对θ求导，得到：
然后我们令该导数为0，你会很失望的发现，它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了，只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。 二、优化求解2.1、梯度下降(gradient descent)
Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单，和我开篇说的那样，要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以让代价函数小一点），然后不断的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下图所示：
但，我同时也需要更快的到达最小值啊，怎么办呢？我们需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某个方向，都比走其他方法，要离最小值更近。而这个下坡最快的方向，就是梯度的负方向了。对logistic Regression来说，梯度下降算法新鲜出炉，如下：
其中，参数α叫学习率，就是每一步走多远，这个参数蛮关键的。如果设置的太多，那么很容易就在最优值附加徘徊，因为你步伐太大了。例如要从广州到上海，但是你的一步的距离就是广州到北京那么远，没有半步的说法，自己能迈那么大步，是幸运呢？还是不幸呢？事物总有两面性嘛，它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回到最优值附近，只是在最优值附近的时候，它有心无力了。但如果设置的太小，那收敛速度就太慢了，向蜗牛一样，虽然会落在最优的点，但是这速度如果是猴年马月，我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是，学习率大，慢慢的接近最优值的时候，我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊！这个优化具体见2.3 。
梯度下降算法的伪代码如下：################################################初始化回归系数为1重复下面步骤直到收敛{
计算整个数据集的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数}返回回归系数值################################################
注：因为本文中是求解的Logit回归的代价函数是似然函数，需要最大化似然函数。所以我们要用的是梯度上升算法。但因为其和梯度下降的原理是一样的，只是一个是找最大值，一个是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向，最小值的方向就是梯度的负方向。不影响我们的说明，所以当时自己就忘了改过来了，谢谢评论下面@wxltt的指出。另外，最大似然可以通过取负对数，转化为求最小值。代码里面的注释也是有误的，写的代码是梯度上升，注销成了梯度下降，对大家造成的不便，希望大家海涵。 2.2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)
梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集（计算整个数据集的回归误差），该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时，就有点力不从心了，它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点（的回归误差）来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候对分类器进行增量的更新（假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了，那新来一个样本x。对非增量学习算法来说，我们需要把x和数据库A混在一起，组成新的数据库B，再重新训练新的分类器。但对增量学习算法，我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可），所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应，一次处理整个数据集的叫“批处理”。
随机梯度下降算法的伪代码如下：################################################初始化回归系数为1重复下面步骤直到收敛{
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
使用alpha xgradient来更新回归系数 }返回回归系数值######################################### 2.3、改进的随机梯度下降
评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛，也就是说参数是否达到稳定值，是否还会不断的变化？收敛速度是否快？
上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中（请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本，每个样本都对系数调整一次，所以共有200*100=20000次调整）三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动，迭代次数很大了，心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点，也就是我们的数据集并非线性可分，但我们的logistic regression是线性分类模型，对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点，还一视同仁的对待，调整系数去减少对这些样本的分类误差，从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说，我们期待算法能避免来回波动，从而快速稳定和收敛到某个值。
对随机梯度下降算法，我们做两处改进来避免上述的波动问题：1）在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小，这会缓解系数的高频波动（也就是每次迭代系数改变得太大，跳的跨度太大）。当然了，为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0（这时候，系数几乎没有调整，那么迭代也没有意义了），我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项，具体见代码。2）每次迭代，改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动，因为样本顺序的改变，使得每次迭代不再形成周期性。
改进的随机梯度下降算法的伪代码如下：################################################初始化回归系数为1重复下面步骤直到收敛{
对随机遍历的数据集中的每个样本
随着迭代的逐渐进行，减小alpha的值
计算该样本的梯度
使用alpha x gradient来更新回归系数
}返回回归系数值################################################
比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降，可以看到两点不同：1）系数不再出现周期性波动。2）系数可以很快的稳定下来，也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。 三、Python实现
我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：logRegression.py#################################################
# logRegression: Logistic Regression
# Author : zouxy
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
#################################################
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import time
# calculate the sigmoid function
def sigmoid(inX):
return 1.0 / (1 + exp(-inX))
# train a logistic regression model using some optional optimize algorithm
# input: train_x is a mat datatype, each row stands for one sample
train_y is mat datatype too, each row is the corresponding label
opts is optimize option include step and maximum number of iterations
def trainLogRegres(train_x, train_y, opts):
# calculate training time
startTime = time.time()
numSamples, numFeatures = shape(train_x)
alpha = opts['alpha']; maxIter = opts['maxIter']
weights = ones((numFeatures, 1))
# optimize through gradient descent algorilthm
for k in range(maxIter):
if opts['optimizeType'] == 'gradDescent': # gradient descent algorilthm
output = sigmoid(train_x * weights)
error = train_y - output
weights = weights + alpha * train_x.transpose() * error
elif opts['optimizeType'] == 'stocGradDescent': # stochastic gradient descent
for i in range(numSamples):
output = sigmoid(train_x[i, :] * weights)
error = train_y[i, 0] - output
weights = weights + alpha * train_x[i, :].transpose() * error
elif opts['optimizeType'] == 'smoothStocGradDescent': # smooth stochastic gradient descent
# randomly select samples to optimize for reducing cycle fluctuations
dataIndex = range(numSamples)
for i in range(numSamples):
alpha = 4.0 / (1.0 + k + i) + 0.01
randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
output = sigmoid(train_x[randIndex, :] * weights)
error = train_y[randIndex, 0] - output
weights = weights + alpha * train_x[randIndex, :].transpose() * error
del(dataIndex[randIndex]) # during one interation, delete the optimized sample
raise NameError('Not support optimize method type!')
print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' % (time.time() - startTime)
return weights
# test your trained Logistic Regression model given test set
def testLogRegres(weights, test_x, test_y):
numSamples, numFeatures = shape(test_x)
matchCount = 0
for i in xrange(numSamples):
predict = sigmoid(test_x[i, :] * weights)[0, 0] & 0.5
if predict == bool(test_y[i, 0]):
matchCount += 1
accuracy = float(matchCount) / numSamples
return accuracy
# show your trained logistic regression model only available with 2-D data
def showLogRegres(weights, train_x, train_y):
# notice: train_x and train_y is mat datatype
numSamples, numFeatures = shape(train_x)
if numFeatures != 3:
print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
# draw all samples
for i in xrange(numSamples):
if int(train_y[i, 0]) == 0:
plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'or')
elif int(train_y[i, 0]) == 1:
plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'ob')
# draw the classify line
min_x = min(train_x[:, 1])[0, 0]
max_x = max(train_x[:, 1])[0, 0]
weights = weights.getA()
# convert mat to array
y_min_x = float(-weights[0] - weights[1] * min_x) / weights[2]
y_max_x = float(-weights[0] - weights[1] * max_x) / weights[2]
plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2')
plt.show()四、测试结果
测试代码：test_logRegression.py#################################################
# logRegression: Logistic Regression
# Author : zouxy
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
#################################################
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import time
def loadData():
train_x = []
train_y = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
lineArr = line.strip().split()
train_x.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
train_y.append(float(lineArr[2]))
return mat(train_x), mat(train_y).transpose()
## step 1: load data
print "step 1: load data..."
train_x, train_y = loadData()
test_x = train_x; test_y = train_y
## step 2: training...
print "step 2: training..."
opts = {'alpha': 0.01, 'maxIter': 20, 'optimizeType': 'smoothStocGradDescent'}
optimalWeights = trainLogRegres(train_x, train_y, opts)
## step 3: testing
print "step 3: testing..."
accuracy = testLogRegres(optimalWeights, test_x, test_y)
## step 4: show the result
print "step 4: show the result..."
print 'The classify accuracy is: %.3f%%' % (accuracy * 100)
showLogRegres(optimalWeights, train_x, train_y)
测试数据是二维的，共100个样本。有2个类。如下：testSet.txt-0..
训练结果：
(a)梯度下降算法迭代500次。(b)随机梯度下降算法迭代200次。(c)改进的随机梯度下降算法迭代20次。(d)改进的随机梯度下降算法迭代200次。 五、参考文献[1] [2][3]
李航《统计学习方法》第六章——用Python实现逻辑斯谛回归（MNIST数据集）
逻辑回归详解及Python实现
逻辑回归python实现实例
【统计学习方法】 逻辑斯谛回归(Logistic Regression) Python实现
逻辑斯蒂回归 Logstic Regression in Python
逻辑回归----Python实现
用Python开始机器学习（7：逻辑回归分类）
Python逻辑回归
逻辑回归的python实现
【机器学习算法实现】logistic回归__基于Python和Numpy函数库
没有更多推荐了，国外也要坐月子？看国外女人都是咋坐月子的
我们都以为国外的女人生了娃不用“坐月子”，真的是这样吗？其实每个国家都有“坐月子”的习惯，只是和“中国式坐月子”不一样罢了。
传统坐月子有很多不成文的规定，例如“不洗头”“不洗澡”“卧床静养”“不能受风”“天天大补”等。
而不同的国家的人，观念不同，传统不同，坐月子的习惯其实也大不相同。
日本属于亚洲国家，那她们坐月子的习俗跟我们会是一样吗？
日本注重产妇营养，在日本，女性在生产之后有大约三周的产后恢复休养期。产妇的营养也是相当受到重视的。医院会请营养师对产妇的饮食进行专门配餐。
但是，不同于中国月子传统，产妇饮食几乎顿顿都会提供冰水果和冰牛奶。
而且产妇如果出现因涨奶引起的乳房肿痛，护士也会建议产妇进行乳房冰敷。
看看开挂的印度怎么做月子的吧！印度坐月子需用草药水沐浴
印度的传统月子根据地域的不同，时间在40天到60天之间。
月子的主要目的是预防新生儿和产妇的感染，以及帮助产妇恢复正常的生活。月子期间产妇也被要求尽量减少进食辛辣生冷食物。
印度的传统还包括用浸有草药的水沐浴，以及用含有芥菜籽油、姜黄的特殊精油为产妇进行按摩。
印度人认为用这种方式能帮助产妇起到放松、杀菌、止痛的作用。
印度的“马杀鸡”很有名，所有看来产妇的恢复也会辅助使用按摩的方式呢！
一直以“严谨”著称的德国人，会对“坐月子”也那么小心翼翼吗？
德国“坐月子”医生为产妇提供黑麦啤酒
一般德国医生会建议顺产产妇留院观察7天左右，剖腹产产妇产后留院7~14天左右。
德国医院还会为产妇提供一种酒精含量极低（0%~2.5%ABV）的黑麦啤酒（Malt beer）以增加母乳分泌。
这种黑麦啤酒含有丰富的氨基酸和多种维他命B。其含糖量及热量也很高，可以帮助产妇恢复体力，补充营养。
看来坐月子真的和当地的风土人情有很大的关系啊，德国的黑啤可是很有名的，居然也被用到“坐月子”上了呢！
不管东方西方，女性怀孕期体内各系统的变化是一样的，生完都要有恢复阶段，如子宫恢复需要6~8周。
但东西方人的体质差异很大，西方人的饮食以肉食为主，我们的饮食以植物类为主。还有环境因素，西方人主张产后马上洗澡，因为他们的室内环境很干净，暴露伤口没问题。
我们的环境条件达不到那样的水平。所以许多做法不能完全模仿西方。
尽管中西文化背景不同，对于孕妇产后要多休息、补充营养、避免感染等原则是一致的。总之，女性坐月子是打好身体的基础，也不要落下了磨人的“月子病”哦！
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