皮肤病三重积分的对称性性，先是双臂，然后到了腿中间

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-04 04:51 标签： 三重积分的对称性

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廣州大学数学与信息科学学院


广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东 广州大学袁文俊、邓小成、

一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面唑标计算三重积分 三、小结

一、利用柱面坐标计算三重积分


为空间内一点 设 M( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在xoy 面上 的投影P 的极坐标为r, θ，则这样的三个数r, θ , z 的柱面坐标． 就叫点M 的柱面坐标．
简单地说 简单地说，柱面坐标就是

如图 如图，三坐标面分别为

圆柱面； 圆柱面； 半平面； 半平面； 平 面．

柱面坐标与直角坐标的 关系为

如图 如图，柱面坐标系中的 体积元素为

再根据 ? 中 zr，θ 的关系化为三次积分。 ， 的關系化为三次积分。 积分 一般， 积分 一般，先对 z 积分再对 r ，最后对 θ 积分

例1 利用柱面坐标计算三重积分

所围成的闭区域。 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域

过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线得


面投影， 将 ? 向 xoy 面投影得
解 面投影， 将 ? 向 xoy 面投影得
过 (r, θ )∈D 做平行於 z 轴 ∈ 的直线， 的直线得

二、利用球面坐标计算三重积分


设 M( x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次 为空间内一点 来确定， 序的数r?，θ 来確定其中r 为原点O 与点 M 间 的距离， ? θ 轴正向所夹的角 的距离， 为有向线段OM与z 轴正向所夹的角 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有 向線段 OP 的角，这里P 为点 M 在 xoy 面上的投影这 的角， 面上的投影 的球面坐标． 样的三个数r，?θ 就叫做点M 的球面坐标．
如图， 如图三坐标面汾别为

圆锥面； 圆锥面； 半平 面．

球面坐标与直角坐标的关系为

如图， 如图 球面坐标系中的体积元素为

的关系，化为三次积分 再根据洅 ? 中 r，θ ? 的关系，化为三次积分 ， 一般 积分， 积分 一般，先对 r 积分再对 ? ，最后对 θ 积分


解 画 ? 图。 的上下限 确定 r，θ ? 的上丅限。 (1) 将 ? 向 xoy 面投影，得 面投影

(3) 在半平面上，任取一 ? ∈[0, π ], 过原点作 在半平面上 射线， 射线得


解 面投影， 将 ? 向 xoy 面投影得
任取一 θ ∈[0, 2π ], 过 z 轴作半平面， 轴作半平面得

4 π 在半平面上， 在半平面上任取一 ? ∈[0, ], 4 过原点作射线， 过原点作射线得 0 ≤ r ≤ R.

π 在半平面上， 在半平面仩任取一 ? ∈[0, ], 4 过原点作射线， 过原点作射线得 0 ≤ r ≤ R.

由三重积分的性质， 由三重积分的性质有

由三重积分的性质， 由三重积分的性质囿


柱面坐标 柱面坐标的体积元素
球面坐标 球面坐标的体积元素

广州大学 袁文俊、邓小成、尚亚东 袁文俊、邓小成、

该楼层疑似违规已被系统折叠 

大鉮们我想问下在三重积分里除了画图还有什么方法能够判断积分区域关于xoy yoz xoz面的三重积分的对称性性哇？


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