【数学】3.1.1《 数系的扩充与复数的概念》课件(新人教A版选修1-2)_百度文库
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【数学】3.1.1《 数系的扩充与复数的概念》课件(新人教A版选修1-2)|A​版​选​修-全​册
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虚数就是其平方是的数。虚数这个名词是17世纪著名数学家创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的。后来发现虚数可对应上的，与对应平面上的同样真实。外文名imaginary number定&&&&义其平方是负数的数单&&&&位i特&&&&点平方是负数的话，那个数就是虚数数学应用虚数都是复数。定义为i? = - 1
虚数可以指以下含义：
(1)unreliable figure：虚假不实的数字。
(2)imaginary part：虚部（中a+bi，b叫，a叫实部）。
(3)imaginary number：数学名词——虚数。
(4)汉语中不表明具体数量的词。
如果有数是负数的话，那个数就是了；所有的虚数都是。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念 认为这是真实不存在的数字。后来发现 虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面 上横轴的实数同样真实。虚和构成的平面称，上每一点对应着一个。sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa
=sinachb+ishbcosa
cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina
=cosachb+ishbsina
tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)
cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)
sec(a+bi)=1/cos(a+bi)
csc(a+bi)=1/sin(a+bi)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c?+d?)+(bc-ad)/(c?+d?)i
r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b)
r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b))
r(isina+cosa)n=r^n(isinna+cosna)_(a+bi)=a-bi
_(z1+z2)=_z1+_z2
_(z1-z2)=_z1-_z2
_(z1z2)=_z1_z2
_(zn)=(_z)n
_z1/z2=_z1/_z2
_zz=|z|?∈Rzm·zn=zm+n
zm/zn=zm-n
z1m·z2m=(z1z2)m
(zm)1/n=zm/n
z·z·z…·z（n个）=zn
z1n=z2--&z2=z11/n
logai(x)=ln(x)/[ iπ/2+ lna]
xai+b=xai·xb= xb[cosln(xa) + i sinln(xa). ]在数学里，将偶指数幂是的数为。所有的虚数都是。定义为i?=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。[1]
这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。我们可以在中画出系统。如果利用表示，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为。横轴和也改称为实虚数轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P （a，bi），将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。
不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：
若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？
根据这一要求，可以给出如下方程：
-x = (1/x)
不难得知，这个方程的解x=i （虚数单位）
由此，若有代数式 t'=ti，我们将i理解为从t的单位到t'的单位之间的转换单位，则t'=ti将被理解为
-t' = 1/t
t' = - 1/t
这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的数值可以由此计算出来。
虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具，虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括和，也就是说它是实实在在存在的数。
有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。
无理数的发现，应该归功于古希腊。的出现，与德谟克利特的“”发生矛盾。根据这一理论，任何两个的比，不过是它们所含原子数目的经。而却说明了存在着不可通约的。实轴和虚轴
不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。
“虚数”这个名词是17世纪著名、哲学家创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
人们发现即使使用全部的有理数和，也不能解决代数方程的求解问题。像x?+1=0这样最简单的，在实数范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个是没有解的。他认为的平方是正数，的平方也是正数，因此，一个正数的是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是。这等于不承认方程的负数平方根的存在。
到了16世纪，意大利数学家在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1545年意大利米兰的发表了最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：
形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：
x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3
当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。
直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是的平方根。对于这，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现 在，复数一般用来表示（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。i 的高次方会不断作以下的循环：
in具有周期性，且最小正周期是4.
那么 i4n=1
由于虚数特殊的运算规则，出现了符号i
当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时：
ω2 + ω + 1 = 0
ω3 = 1许多实数的运算都可以推广到i，例如指数、对数和。
一个数的ni次方为：
xni = cos(ln(xn)) + i sin(ln(xn)).
一个数的ni次方根为：
x1/ni= cos(ln(x1/n)) - i sin(ln((x1/n)).
以i为底的对数为：
log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ.
i的余弦是一个实数：
cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e? + 1) /2e = 1..
i的是虚数：
sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1. i.
i,e,π,0和1的奇妙关系：
ii=e-π/21777年瑞士数学家(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。
通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。虚数 原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院）
翻译：徐国强
虚文自古向空构，艾字如今可倍乘。所问逢人惊诧甚，生活何处有真能？嗟哉小试调音放，讶矣大为掌夜灯。三极管中知用否，交流电路肯咸恒。凭君漫问荒唐义，负值求根疑窦增。情类当初听惯耳，事关负数见折肱。几分繁复融学域，百计联席悦有朋。但看几何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。
IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University
Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, &are they used in real life?&Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see &i to i.&
[①] see &i to i.&指可见的应用，并谐音双关see eye to eye 为意见一致引
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