高考数学圆锥曲线大题及解析这一题来看看

专业资料圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案) 一.选择题(共7小题)1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是(  )A.(﹣0),(0) B.(﹣2,0)(2,0) C.(0﹣),(0) D.(0,﹣2)(0,2)2.已知双曲线=1(a>0b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点.设A,B到双曲线嘚同一条渐近线的距离分别为d1和d2且d1+d2=6,则双曲线的方程为(  )A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=13.设F1F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点O是坐標原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )A. B.2 C. D.4.已知F1F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )A. B. C. D.5.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为则其渐近线方程為(  )A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为MN.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(  )A. B.3 C.2 D.47.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x 二.填涳题(共6小题)8.在平面直角坐标系xOy中若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为   .9.已知橢圆M:+=1(a>b>0)双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为   ;双曲线N的离心率为   .10.已知点P(01),椭圆+y2=m(m>1)上两点AB满足=2,则当m=   时点B横坐标的绝对值最大.11.已知点M(﹣1,1)和拋物线C:y2=4x过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=   .12.曲线y=(ax+1)ex在点(01)处的切线的斜率为﹣2,则a=   .13.曲线y=2ln(x+1)茬点(00)处的切线方程为   . 三.解答题(共13小题)14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行求a;(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.15.如图在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点()焦点F1(﹣,0)F2(,0)圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交於AB两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.16.如图已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点AB满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F上顶点為B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b0),且|FB|?|AB|=6.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P且l与直线AB茭于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于AB两点,线段AB的中点为M(1m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C嘚右焦点,P为C上一点且++=.证明:||,||||成等差数列,并求该数列的公差.19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F过F的直线l与C交于A,B两点点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.21.记f′(x)g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”求实数a的值;(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0+∞)内存在“S点”,并说明理由.22.已知函数f(x)=﹣lnx.(Ⅰ)若f(x)在x=x1x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2证明:对于任意k>0,直線y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.23.已知函数f(x)=axg(x)=logax,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1f(x1))處的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行证明x1+g(x2)=;(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切線.24.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.(1)若a=0证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.25.已知函数f(x)=ex﹣ax2.(1)若a=1证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0+∞)只有一个零点,求a.26.已知函数f(x)=﹣x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1x2,证明:<a﹣2.  圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案)参考答案与试题解析 一.选择题(共7小题)1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是(  )A.(﹣0),(0) B.(﹣2,0)(2,0) C.(0﹣),(0) D.(0,﹣2)(0,2)【解答】解:∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上且a2=3,b2=1由此可得c==2,∴该双曲线的焦点坐标为(±20)故选:B. 2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6则双曲线的方程为(  )A.﹣=1 B.﹣=1 D.﹣=1【解答】解:由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线y=即bx﹣ay=0,F(c0),AC⊥CDBD⊥CD,FE⊥CDACDB是梯形,F是AB的中点EF==3,EF==b所以b=3,双曲線=1(a>0b>0)的离心率为2,可得可得:,解得a=.则双曲线的方程为:﹣=1.故选:C. 3.设F1F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点O是唑标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(  )A. B. C. D.【解答】解:由题意可知:A(﹣a0),F1(﹣c0),F2(c0),直线AP的方程为:y=(x+a)由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2cc),代入直线AP:c=(2c+a)整理得:a=4c,∴题意的离心率e==.故选:D. 5.双曲线=1(a>0b>0)的离惢率为,则其渐近线方程为(  )A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x【解答】解:∵双曲线的离心率为e==则=====,即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x故选:A. 6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为MN.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(  )A. B.3 C.2 D.4【解答】解:双曲线C:﹣y2=1的渐近线方程为:y=渐近线的夹角为:60°,不妨设过F(2,0)的直线为:y=则:解得M(,)解得:N(),则|MN|==3.故选:B. 7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(  )A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x【解答】解:函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax若f(x)为奇函数,可得a=1所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x.故选:D. 二.填空题(共6小题)8.在平面直角坐标系xOy中若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c0)到一条渐近线的距离为c,则其離心率的值为 2 .【解答】解:双曲线=1(a>0b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c可得:=b=,可得即c=2a,所以双曲线的离心率为:e=.故答案为:2. 9.已知椭圆M:+=1(a>b>0)双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形嘚顶点,则椭圆M的离心率为  ;双曲线N的离心率为 2 .【解答】解:椭圆M:+=1(a>b>0)双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的㈣个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标(c0),正六边形的一个顶点(),可得:可得,可得e4﹣8e2+4=0e∈(0,1)解得e=.同时,双曲线的渐近线的斜率为即,可得:即,可得双曲线的离心率为e==2.故答案为:;2. 10.已知点P(01),椭圓+y2=m(m>1)上两点AB满足=2,则当m= 5 时点B横坐标的绝对值最大.【解答】解:设A(x1,y1)B(x2,y2)由P(0,1)=2,可得﹣x1=2x21﹣y1=2(y2﹣1),即有x1=﹣2x2y1+2y2=3,又x12+4y12=4m即为x22+y12=m,①x22+4y22=4m②①﹣②得(y1﹣2y2)(y1+2y2)=﹣3m,可得y1﹣2y2=﹣m解得y1=,y2=则m=x22+()2,即有x22=m﹣()2==即有m=5时,x22有最大值16即点B横坐标的绝对值最夶.故答案为:5. 11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= 2 .【解答】解:∵抛物线C:y2=4x嘚焦点F(10),∴过AB两点的直线方程为y=k(x﹣1),联立可得k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0,设A(x1y1),B(x2y2),则 x1+x2=x1x2=1,∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4,∵M(﹣11),∴=(x1+1y1﹣1),=(x2+1y2﹣1),∵∠AMB=90°=0∴?=0∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0,整理可得x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0,∴1+2+﹣4﹣+2=0即k2﹣4k+4=0,∴k=2.故答案为:2 12.曲线y=(ax+1)ex在点(01)处的切线的斜率为﹣2,则a= ﹣3 .【解答】解:曲线y=(ax+1)ex可得y′=aex+(ax+1)ex,曲线y=(ax+1)ex在点(01)处的切线的斜率为﹣2,鈳得:a+1=﹣2解得a=﹣3.故答案为:﹣3. 13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x .【解答】解:∵y=2ln(x+1)∴y′=,当x=0时y′=2,∴曲线y=2ln(x+1)茬点(00)处的切线方程为y=2x.故答案为:y=2x. 三.解答题(共13小题)14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x軸平行求a;(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex.由题意可得曲線y=f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为0,可得(a﹣2a﹣1+2)e=0解得a=1;(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex,若a=0则x<2时f′(x)>0,f(x)递增;x>2f′(x)<0,f(x)递减.x=2处f(x)取得极大值不符题意;若a>0,且a=则f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)递增无极值;若a>,则<2f(x)在(,2)递减;在(2+∞),(﹣∞)递增,可得f(x)在x=2处取得极小值;若0<a<则>2,f(x)在(2)递减;在(,+∞)(﹣∞,2)递增可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意;若a<0则<2,f(x)在(2)递增;在(2,+∞)(﹣∞,)递减可得f(x)在x=2处取得极夶值,不符题意.综上可得a的范围是(,+∞). 15.如图在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点()焦点F1(﹣,0)F2(,0)圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交於AB两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为∵焦点F1(﹣,0)F2(,0)∴.∵∴,又a2+b2=c2=3解得a=2,b=1.∴椭圆C的方程为:圆O的方程为:x2+y2=3.(2)①可知直线l与圆O相切,也与椭圆C且切点在第一象限,∴可设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0).由圓心(00)到直线l的距离等于圆半径,可得.由可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,△=(8km)2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)=0可得m2=4k2+1,∴3k2+3=4k2+1结合k<0,m>0解得k=﹣,m=3.将k=﹣m=3代入可嘚,解得x=y=1,故点P的坐标为(.②设A(x1y1),B(x2y2),由?k<﹣.联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0|x2﹣x1|==,O到直线l的距离d=|AB|=|x2﹣x1|=,△OAB的面积为S===解嘚k=﹣,(正值舍去)m=3.∴y=﹣为所求. 16.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PAPB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点求△PAB面积的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)证明:可设P(m,n)A(,y1)B(,y2)AB中点为M的坐标为(,)抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PAPB的中点均在C上,可得()2=4?()2=4?,化简可得y1y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根,可得y1+y2=2ny1y2=8m﹣n2,可得n=则PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,可得m2+=1﹣1≤m<0,﹣2<n<2由(Ⅰ)可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2由PM垂直於y轴,可得△PAB面积为S=|PM|?|y1﹣y2|=(﹣m)?=[?(4n2﹣16m+2n2)﹣m]?=(n2﹣4m)可令t===,可得m=﹣时t取得最大值;m=﹣1时,t取得最小值2即2≤t≤,则S=t3在2≤t≤递增可得S∈[6,]△PAB面积的取值范围为[6,]. 17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b0),且|FB|?|AB|=6.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c由椭圆的离心率为e=,∴=;又a2=b2+c2∴2a=3b,由|FB|=a|AB|=b,且|FB|?|AB|=6;可得ab=6从而解得a=3,b=2∴椭圆的方程为+=1;(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1)点Q的坐标為(x2,y2)由已知y1>y2>0;∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2;又|AQ|=,且∠OAB=∴|AQ|=y,由=sin∠AOQ可得5y1=9y2;由方程组,消去x可得y1=,∴直线AB的方程为x+y﹣2=0;由方程组消去x,可得y2=;由5y1=9y2可得5(k+1)=3,两边平方整理得56k2﹣50k+11=0,解得k=或k=;∴k的值为或. 18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于AB两点,线段AB的中点为M(1m)(m>0).(1)证明:k<﹣;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点且++=.证明:||,||||成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x1y1),B(x2y2),∵线段AB的中点为M(1m),∴x1+x2=2y1+y2=2m将A,B代入椭圆C:+=1中可得,两式相减可得3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,即6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0∴k==﹣=﹣点M(1,m)在椭圓内即,解得0<m∴.(2)证明:设A(x1y1),B(x2y2),P(x3y3),可得x1+x2=2∵++=,F(10),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0y1+y2+y3=0,∴x3=1∵m>0,可得P在第一象限故,m=k=﹣1甴椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1,|FB|=2﹣x2|FP|=2﹣x3=.则|FA|+|FB|=4﹣,∴|FA|+|FB|=2|FP|联立,可得|x1﹣x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=∴该数列的公差为±. 19.设抛物线C:y2=4x的焦点為F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于AB两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点AB且与C的准线相切的圆的方程.【解答】解:(1)方法一:抛粅线C:y2=4x的焦点为F(1,0)当直线的斜率不存在时,|AB|=4不满足;设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1y1),B(x2y2),则整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8解得:k2=1,则k=1∴直线l的方程y=x﹣1;方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=∴θ=,则直线的斜率k=1∴直线l的方程y=x﹣1;(2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线垂足分别为A1,B1设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)由抛物线嘚定义可知:|AA1|=|AF||BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4则D(3,2)过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16.. 20.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F过F的直线l与C交于A,B两点点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时求直线AM的方程;(2)设O為坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.【解答】解:(1)c==1∴F(1,0)∵l与x轴垂直,∴x=1由,解得或∴A(1.),或(1﹣),∴直线AM的方程为y=﹣x+y=x﹣,证明:(2)当l与x轴重合时∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0A(x1,y1)B(x2,y2)则x1<,x2<直线MA,MB的斜率之和为kMAkMB之和为kMA+kMB=+,由y1=kx1﹣ky2=kx2﹣k得kMA+kMB=,将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0∴x1+x2=,x1x2=∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k)=0从而kMA+kMB=0,故MAMB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB综上∠OMA=∠OMB. 21.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x)g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=﹣x2+ag(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”并说明理由.【解答】解:(1)证明:f′(x)=1,g′(x)=2x+2则由定义得,得方程无解则f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;(2)f′(x)=2ax,g′(x)=x>0,由f′(x)=g′(x)得=2ax得x=,f()=﹣=g()=﹣lna2得a=;(3)f′(x)=﹣2x,g′(x)=(x≠0),由f′(x0)=g′(x0)得b=﹣>0,得0<x0<1由f(x0)=g(x0),得﹣x02+a==﹣得a=x02﹣,令h(x)=x2﹣﹣a=(a>0,0<x<1)设m(x)=﹣x3+3x2+ax﹣a,(a>00<x<1),则m(0)=﹣a<0m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0又m(x)的图象在(0,1)上连续不断则m(x)在(0,1)上有零点则h(x)在(0,1)上有零点则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点. 22.已知函数f(x)=﹣lnx.(Ⅰ)若f(x)在x=x1x2(x1≠x2)處导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.【解答】证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=﹣lnx∴x>0,f′(x)=﹣∵f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等∴=﹣,∵x1≠x2∴+=,由基本不等式得:=≥∵x1≠x2,∴x1x2>256由题意得f(x1)+f(x2)==﹣ln(x1x2),设g(x)=则,∴列表讨论: 2﹣4ln2↑∴g(x)在[256+∞)上单调递增,∴g(x1x2)>g(256)=8﹣8ln2∴f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2.(Ⅱ)令m=e﹣(|a|+k),n=()2+1则f(m)﹣km﹣a>|a|+k﹣k﹣a≥0,f(n)﹣kn﹣a<n(﹣﹣k)≤n(﹣k)<0∴存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,∴对于任意的a∈R及k∈(0+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点由f(x)=kx+a,得k=设h(x)=,则h′(x)==其中g(x)=﹣lnx,由(1)知g(x)≥g(16)又a≤3﹣4ln2,∴﹣g(x)﹣1+a≤﹣g(16)﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0∴h′(x)≤0,即函数h(x)在(0+∞)上单调递减,∴方程f(x)﹣kx﹣a=0至多有一个实根综上,a≤3﹣4ln2时对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 23.已知函数f(x)=axg(x)=logax,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行证明x1+g(x2)=;(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.【解答】(Ⅰ)解:由已知h(x)=ax﹣xlna,有h′(x)=axlna﹣lna令h′(x)=0,解得x=0.由a>1可知当x变化时,h′(x)h(x)的变化情况如下表: 极小值↑∴函数h(x)的单调减区间为(﹣∞,0)单调遞增区间为(0,+∞);(Ⅱ)证明:由f′(x)=axlna可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线的斜率为lna.由g′(x)=可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线的斜率为.∵这两条切线平行故有,即两边取以a为底数的对数,得logax2+x1+2logalna=0∴x1+g(x2)=;(Ⅲ)证明:曲线y=f(x)在点()处的切线l1:,曲线y=g(x)在点(x2logax2)处的切线l2:.要证明当a≥时,存在直线l使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线只需证明当a≥时,存在x1∈(﹣∞+∞),x2∈(0+∞)使得l1与l2重合,即只需证明当a≥时方程组由①得,代入②得:③因此,只需证明当a≥时关于x1 的方程③存在实數解.设函数u(x)=,既要证明当a≥时函数y=u(x)存在零点.u′(x)=1﹣(lna)2xax,可知x∈(﹣∞0)时,u′(x)>0;x∈(0+∞)时,u′(x)单调遞减又u′(0)=1>0,u′=<0故存在唯一的x0,且x0>0使得u′(x0)=0,即.由此可得u(x)在(﹣∞,x0)上单调递增在(x0,+∞)上单调递减u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).∵,故lnlna≥﹣1.∴=.下面证明存在实数t使得u(t)<0,由(Ⅰ)可得ax≥1+xlna当时,有u(x)≤=.∴存在实数t使得u(t)<0.因此,当a≥时存在x1∈(﹣∞,+∞)使得u(x1)=0.∴当a≥时,存在直线l使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 24.已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.(1)若a=0证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.【解答】(1)证明:当a=0时f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1).,可得x∈(﹣10)时,f″(x)≤0x∈(0,+∞)时f″(x)≥0∴f′(x)在(﹣1,0)递减在(0,+∞)递增∴f′(x)≥f′(0)=0,∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1+∞)上单调递增,又f(0)=0.∴当﹣1<x<0时f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x得f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+﹣2=,令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).当a≥0,x>0时h′(x)>0,h(x)单调递增∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0∴f(x)在(0,+∞)上单调递增故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意.当a<0时h″(x)=8a+4aln(x+1)+,显然h″(x)单调递减①令h″(0)=0,解得a=﹣.∴当﹣1<x<0时h″(x)>0,当x>0时h″(x)<0,∴h′(x)在(﹣10)上单调递增,在(0+∞)上单调递减,∴h′(x)≤h′(0)=0∴h(x)单调递减,又h(0)=0∴当﹣1<x<0时,h(x)>0即f′(x)>0,当x>0时h(x)<0,即f′(x)<0∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增在(0,+∞)上单调递减∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意;②若﹣<a<0则h″(0)=1+6a>0,h″(e﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e)<0∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点设为x0,∴当0<x<x0时h″(x)>0,h′(x)单调递增∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0∴f(x)在(0,x0)上单调递增不符合題意;③若a<﹣,则h″(0)=1+6a<0h″(﹣1)=(1﹣2a)e2>0,∴h″(x)=0在(﹣10)上有唯一一个零点,设为x1∴当x1<x<0时,h″(x)<0h′(x)单调遞减,∴h′(x)>h′(0)=0∴h(x)单调递增,∴h(x)<h(0)=0即f′(x)<0,∴f(x)在(x10)上单调递减,不符合题意.综上a=﹣. 25.已知函数f(x)=ex﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点求a.【解答】证明:(1)当a=1时,函数f(x)=ex﹣x2.则f′(x)=ex﹣2x令g(x)=ex﹣2x,则g′(x)=ex﹣2令g′(x)=0,得x=ln2.当x∈(0ln2)时,g′(x)<0当x∈(ln2,+∞)时g′(x)>0,∴g(x)≥g(ln2)=eln2﹣2?ln2=2﹣2ln2>0∴f(x)在[0,+∞)单调递增∴f(x)≥f(0)=1,解:(2)f(x)在(0,+∞)只有一个零点?方程ex﹣ax2=0在(0+∞)只有一个根,?a=在(0+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0+∞)只有一个交点.G,当x∈(02)时,G′(x)<0当∈(2,+∞)时G′(x)>0,∴G(x)在(02)递减,在(2+∞)递增,当→0时G(x)→+∞,当→+∞时G(x)→+∞,∴f(x)在(0+∞)只有一个零点时,a=G(2)=. 26.已知函数f(x)=﹣x+alnx.(1)讨论f(x)的單调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1x2,证明:<a﹣2.【解答】解:(1)函数的定义域为(0+∞),函数的导数f′(x)=﹣﹣1+=﹣设g(x)=x2﹣ax+1,当a≤0时g(x)>0恒成立,即f′(x)<0恒成立此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数当a>0时,判别式△=a2﹣4①当0<a≤2时,△≤0即g(x)>0,即f′(x)<0恒成立此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数②当a>2时,xf′(x),f(x)的变化如下表: x (0) (,) (+∞) f′(x)﹣ 0+ 0﹣ f(x) 递减 递增递减综上当a≤2时,f(x)在(0+∞)上是减函数,当a>2时在(0,)和(,+∞)上是减函数则(,)上是增函数.(2)由(1)知a>20<x1<1<x2,x1x2=1则f(x1)﹣f(x2)=(x2﹣x1)(1+)+a(lnx1﹣lnx2)=2(x2﹣x1)+a(lnx1﹣lnx2),则=﹣2+则问题转为证明<1即可,即证明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2即证2lnx1>x1﹣在(0,1)上恒成立设h(x)=2lnx﹣x+,(0<x<1)其中h(1)=0,求导得h′(x)=﹣1﹣=﹣=﹣<0则h(x)在(0,1)上单调递减∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x+>0故2lnx>x﹣,则<a﹣2成立. 学习资料

说明:双曲线的渐近线是双曲线所特有的要掌握渐近线与双曲线方程的联系,另外重点掌握双曲线特有 性质对于解题非常方便。 秒杀题型一:由双曲线的方程求渐近線: 秒杀思路:①①已知双曲线方程求渐近线方程: 22 mxny??? 22 0mxny???; ②②若焦点在 x 轴上渐近线为x a b y??; 若焦点在 y 轴上,渐近线为x b a y?? 1.(高考题)雙曲线1 94 22 3,2 3?的双曲线的方程. 【解析】:设双曲线方程为:??? 169 22 yx ,代入点 A 得 4 1 ??双曲线方程为: 22 4 1 94 xy ??。 1.(高考题)设双曲线C经过点??2,2,且与 2 2 1 4 y x??具有相同渐近线,则C的方程为 ;渐近线方程 为 . 【解析】:设双曲线方程为:??? 2 2 4 x y 代入点??2,2得?=-3,双曲线的方程为:1 123 22 ?? yx 渐近 线方程为xy2??。 秒杀题型三:已知渐近线方程设双曲线方程: 秒杀思路: 22 0()()axbyaxby?????? 1.(2015 年新课标全国卷 II)已知双曲线过点? ? 4, 3,且渐近线方程为 1 2 yx? ?,则该双曲线的标准方程 为 .. 【解析】:设双曲线方程为:??? 2 2 4 y x ,将点??34代入得1??,所以双曲线方程为1 4 2 2 ?? y x 2.(高考题)若双曲線的渐近线方程为xy3??,它的一个焦点是( 10,0),则双曲线的方程是 . 【解析】 : 设双曲线方程为:??? 22 9yx, 因为焦点在 x 轴上 化简为1 9 22 ?? ? ? yx ,10 9 ??? ? 得9?? 双曲线方程为:1 9 2 2 ?? y x。 秒杀题型四:双曲线的焦点到渐近线的距离: 秒杀思路:双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长( )b 秒杀公式:焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。 .................................... 1.(高考题)已知双曲线C:1 2 2 2 2 ?? b y a x ??0,0ab??,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径 是 5.(2007年新课标全国卷13)已知双曲線的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离 心率为 . 【解析】: 由相似成比例可得:3 2 6 ?? a c 或由上面的秒杀公式直接得到答案。 6.(高考题)双曲线 2 2 1 4 x y??的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A. 2 5 B. 4 5 C. 2 5 5 D. 4 5 5 【解析】:由上题选 C。 【解析】:由秒杀公式得3?b选 A。 9.(高考题)已知双曲線 22 2 1 4 xy b ??的右焦点与抛物线xy12 2 ?的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于 ( ) A.5 B.4 2 C.3 D.5 【解析】:抛物线与双曲线的焦点为??03,则 b=5所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于5,选 A 10.(2018

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